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インターネット接続を遮断したAzure VMにて Log Analytics を利用する場合、下記のように必要な通信を許可することで利用可能です。
インターネット接続を遮断した Azure VM にて Log Analytics は利用できますか？

その際にはプロキシを利用する場合が想定されますが、Log Analyticsのプロキシ設定は以下URLに紹介された手順で設定可能です。Windows エージェント、Linuxエージェントそれぞれの設定方法があります。
プロキシ設定を更新する

Windowsエージェントの手順を参考までに記載すると以下のような形です。

Windows エージェント
１．管理者権限を持つアカウントでコンピューターにサインオンします。
２．[コントロール パネル] を開きます。
３．[Microsoft Monitoring Agent] を選択した後、 [プロキシ設定] タブをクリックします。

４．[プロキシ サーバーの使用] をクリックし、プロキシ サーバーまたはゲートウェイの URL とポート番号を指定します。 プロキシ サーバーまたは Log Analytics ゲートウェイで認証が必要な場合は、認証するためのユーザー名とパスワードを入力し、 [OK] をクリックします。