この記事は更新から24ヶ月以上経過しているため、最新の情報を別途確認することを推奨いたします。

現状、CosmosDB (Mongo API) から CosmosDB (Mongo API) へのデータ移行に関しましては、Azure Data Factory (ADF) の Copy Activity サービスでのデータ移行が有効です。
以下参考情報をご確認ください。

[参考情報]
ADFのCopy Activityにてサポートされるデータ ストアと形式について以下のサイトにてご確認ください。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/data-factory/copy-activity-overview#supported-data-stores-and-formats

Azure Data Factory を使用して Azure Cosmos DB の MongoDB 用 API との間でデータを双方向にコピーする方法について以下にてご確認いただけますと幸いです。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/data-factory/connector-azure-cosmos-db-mongodb-api

尚、現状、どの方法であったとしても CosmosDB に対しての Select 自体は発生する為、確実にスロットリングが回避できるといった方法がありませんでした。
その為、実際の対象のデータ（レコード数やサイズ）などにより、ADFのパイプラインの設定パラメーター（writeBatchSize, writeBatchTimeout）の調整が必要の場合もありますので、事前にテスト環境にてデータ移行の検証を行うことをお勧めいたします。