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Azure Web Apps にて HTTP ヘッダーを追加する場合は、web.config で IIS の設定を行うことで追加することが可能です。
以下に例として X-Frame-Options に Deny を設定する web.config 記述内容をご案内します。

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<configuration>
<system.webServer> 
<httpProtocol>
<customHeaders>
<add name="X-Frame-Options" value="DENY" />
</customHeaders>
</httpProtocol>
</system.webServer> 
</configuration>

[customHeaders]
https://docs.microsoft.com/en-us/iis/configuration/system.webserver/httpprotocol/customheaders/