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Azureリソースでは、仮想ネットワークとネットワークインターフェースの設定項目内で参照するDNSを指定することができます。
どちらのリソースに対しても、複数のDNSを指定させることが可能です。

表題の結論と致しまして、
仮想ネットワークとネットワークインターフェースのどちらにもDNSを指定している場合は、ネットワークインターフェースの設定が優先されます。

ネットワークインターフェースのDNS設定を更新すると、
ネットワークインターフェースに関連付けられている仮想マシン(可用性セット内VMも含む)は再起動されます。

ネットワークインターフェースに対してDNSを指定しない場合、仮想ネットワークのDNS設定を継承します。

仮想ネットワークに対してDNSを指定しない場合、Azureで提供されるDNS(IPアドレス:168.63.129.16)が使用されます。

参考文献
・Azure仮想ネットワーク内のリソースの名前解決