Azure SQL Databaseについては利用するサービスによってコンピューティング部分の停止することは可能です。
なお、データとバックアップ ストレージについてはコンピューティングが停止されても課金されます。

・Azure SQL Database
コンピューティングレベルをサーバーレスコンピューティングにすれば停止をするとコンピューティングについては課金されません。
仮想コアベースの購入モデルでのコンピューティングレベル、もしくはデプロイモデルにすると課金を止めることはできません。

 

クイックスタート: Azure portal を使用して専用 SQL プールのコンピューティングを一時停止および再開する

・Azure SQL Managed Instance
インスタンスを停止することでコンピューティングについては課金しないようにすることが可能です。

 

インスタンスの停止と開始 – Azure SQL Managed Instance