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GRSは、地震や火災などでデータセンターが破壊されるなどの天災があった場合に備えて、別リージョンにデータを同期させてデータロスを防ぐものになります。
そのため、ユーザー環境固有の障害などは対象にはなりません。

また、天災時のマイクロソフト社の動きとしましては、まずプライマリーのデータセンターの復旧に取り組むことになっており、どうしても復旧ができなかった場合に、セカンダリーのデータセンターへのフェールオーバーを検討する流れとなっております。
そのため、任意のタイミングでのフェールオーバーを行うことはできません。

なお、RA-GRS(読み取り専用地理冗長) では、任意のタイミングに同期されたストレージからデータをコピーして仮想マシンをデプロイすることなどは可能です。
DRの構成としては、Azure Site Recovery にてAzure to Azure のフェールオーバーなどと併せてご検討ください。

[ストレージサービスの地理冗長 (GRS) の障害時の挙動について]
https://blogs.technet.microsoft.com/jpaztech/2016/08/09/storage-service-grs-failover/