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App Service の VNet 統合方法が「ゲートウェイが必要な VNet 統合」であり且つプライベートエンドポイントを使用したいときなど、デフォルトで作成されたプライベート DNS ゾーンで名前解決できない時にはカスタム DNS サーバーが必要になる場合があります。

カスタム DNS サーバーにプライベートエンドポイントと同様のゾーンと A レコード (ローカルアドレス) を設定し、 仮想ネットワークの「DNS サーバー」に構築した DNS サーバーの IP を指定すれば、名前解決にカスタム DNS サーバーが用いられるようになります。

どのように名前解決しているかは Azure ポータルの App Service 左メニューの「コンソール」にて以下コマンドで確認可能です。nslookup ではなく nameresolver を使用します。

nameresolver.exe hostname [optional: DNS Server]

このとき、通常ではオプションを指定せずともローカルアドレスの A レコードが返却されるはずですが、パブリック IP で名前解決されてしまう場合 App Service が DNS サーバーを参照できていないことになります。

この場合、以下の対処方法で改善するか確認します。

１．VNet のネットワーク同期の操作を行う
２．VNet 統合を一旦切断し再接続する

１．については、以下資料に記載の手順で VNet のネットワーク同期を実施します。
1) Web アプリの App Service プランに移動します。
2) [ネットワーク] を選択し、 [管理するにはここをクリック] を選択します。
3) 目的の VNet を選択し、 [ネットワークの同期] をクリックします。

以上、同様の事象のご参考になればと思います。

■ 参考URL
Azure Virtual Network とのアプリの統合 – Azure App Service | Microsoft Docs
Azure App Service のネットワーク構成の同期 – Azure SQL Managed Instance | Microsoft Docs