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SharePoint Online では、掲題のようにサイトやページを直感的にコピーするための機能は提供されていませんが、サイトやアプリ (リストやライブラリ) のテンプレートを作成し、コンテンツを移行することが可能です。
以下にテンプレートを利用してサイト内のコンテンツを別サイトへ移行する方法について、参考とうなる公開情報をおまとめします。
[SharePoint サイトをテンプレートとして保存、ダウンロード、およびアップロードする]
http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/office/jj938033
[サイト テンプレートを作成して使う]
https://support.office.com/ja-jp/article/HA102756445