この記事は更新から24ヶ月以上経過しているため、最新の情報を別途確認することを推奨いたします。

以下条件をクリアできれば、監視可能です。

１． WEBサイトURLの名前解決がパブリックDNSにより可能である
２．Application Insightsによる接続要求（URL pingテストの監視要求）がNSGなどのファイアウォールを通過できる

WEBサイト監視については以下を参照することにより設定可能です。
URL ping テストを使用して可用性を監視する
標準テスト

１は、パブリックDNSである必要があり、どこからでも名前解決できるようなサイトである必要があります。２は、NSGなどで外部からの通信を制御しているような場合、以下の「ApplicationInsightsAvailability」というサービスタグを使用して通信を許可してやる必要があります。
可用性テストのサービスタグ