この記事は更新から24ヶ月以上経過しているため、最新の情報を別途確認することを推奨いたします。

オンプレミスでは、各 OS や、アプリケーションのログにて運用管理を行っておりましたが、Azure の場合は、Azure 基盤やサービス自体から出力される情報があり、こちらの確認も必要となります。
以下にまとめますのでご覧ください。

・Azureアクティビティログ
Azure サブスクリプションのリソースに対して、外部から実行された操作(リソースの作成、削除、権限変更)が行われた際に
いつ、だれが、なにを行ったのかについて履歴が残ります。
また、Service Health ログも含まれており、Azure サービスの問題、定期メンテナンス、正常性に関する情報も含まれます。

[Azure アクティビティ ログ イベントを表示して取得する]
https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/azure-monitor/platform/activity-log-view

[Service Health の概要]

https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/service-health/service-health-overview

・リソースログ(診断ログ)
Azure の各リソースから出力されます。
内容は、Azure サービスとリソースによって異なります。

[Azure リソース ログでサポートされているサービス、スキーマ、カテゴリ]

https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/azure-monitor/platform/diagnostic-logs-schema

・メトリック
各 Azure リソースが出力する情報を定期的に収集し、数値的に計測された値になります。
タイムスタンプやデータの内容を基に、時系列で問題の検出が行えます。

[Azure Monitor のメトリック]

https://docs.microsoft.com/ja-jp/azure/azure-monitor/platform/data-platform-metrics

これらのログは、Azure Loganalytics や Azure Monitor にて分析、可視化を行えます。
初期費用はかからず、従量での課金となるため気軽にお試しいただける運用管理サービスとなります。